Ері Л. Голдбергер, Дейвід Р. Рігні, Брюс Дж. Уест
СТУДЕНТ-медик, який спостерігає за ритмом серцевих скорочень, зауважує, що іноді їх частота різко змінюється від хвилини до хвилини і від години до години. Лікар, що вводить бронхоскоп в легке, бачить, як трахея розгалужується на все більш дрібні дихальні шляхи. У студента створюється враження, що інтервал між скороченнями серцевого м'яза змінюється хаотично. Лікар же, можливо, здогадується, що мережа розгалужуються дихальних шляхів нагадує фрактальну структуру. Фізіологи й лікарі лише нещодавно почали кількісно аналізувати хаотичність динамічних процесів і фрактальні властивості структур. Ці дослідження ставлять під сумнів традиційні принципи медицини і відкривають нові фактори, які можуть служити ранніми провісниками захворювання.
Дихальні шляхи, що сформувалися в ході еволюції і ембріонального розвитку, нагадують фрактали, породжені комп'ютером. Бронхи і бронхіоли легкого утворюють "дерево" з численними розгалуженнями. Дрібномасштабні структура дихальних шляхів виглядає так само, як крупно масштабна. Кількісний аналіз розгалуження дихальних шляхів показав, що воно має фрактальну геометрію.
Згідно традиційної мудрості медицини, хвороби та старіння пояснюються дуже великим навантаженням на систему, яка, взагалі кажучи, є добре відрегульованим механізмом. Іншими словами, навантаження знижують ступінь упорядкованості, провокуючи нестійкі реакції або порушуючи нормальні періодичні ритми процесів в організмі. У результаті досліджень, що тривали протягом останніх п'яти років, ми і наші колеги встановили, що серце та інші фізіологічні системи можуть діяти вельми безладно, коли організм молодий і здоровий. На противагу інтуїтивним уявленням більш регулярне функціонування іноді поєднується зі старінням і захворюваннями.
Кровоносних судин серця мають фракталоподобное розгалуження. Великі судини (зліва; муляж), гілкуються на більш дрібні судини, які в свою чергу розгалужуються на ще більш дрібні судини
Нерегулярність і непередбачуваність є важливими характеристиками здоров'я. А зниження мінливості і виникнення яскраво вираженої періодичності причинно пов'язані з багатьма захворюваннями. Керуючись цією концепцією, ми та інші фізіологи шукали Періодичні закономірності, які могли б служити індикаторами розвиваються захворювань (зокрема, серцевих). Крім того, ми почали аналізувати такі характеристики, як гнучкість і міцність нерегулярних фрактальних структур, а також пристосовність і "робастність" (стійкість до збурень) систем, які демонструють ознаки хаотичного поведінки.
ХАОС і фрактали як об'єкти вивчення пов'язані з дисципліною, званої нелінійної динамікою, в рамках якої розглядаються системи, що реагують на стимули (зовнішні обурення) нелінійним чином. Теорія нелінійної динаміки дозволяє краще зрозуміти такі явища, як епідемії, кінетика певних хімічних реакцій, зміна погодних умов. У деяких ситуаціях детерміновані нелінійні системи (що мають лише кілька простих елементів) ведуть себе невпорядковано, знаходяться в стані, який називається хаосом. Детерміністський хаос нелінійних динамічних систем - це не те ж саме, що хаос в енциклопедичній інтерпретації даного терміну, відповідно до якої хаос - це стан повної дезорганізації або випадковості подій. Нелінійний хаос відноситься до обмеженої випадковості, яка, зауважимо, може також асоціюватися з фрактальною геометрією.
Фрактальні структури часто представляють собою слід хаотичних нелінійних динамічних процесів. Де б в природі в результаті хаотичного процесу ні формувався той чи інший елемент природного середовища (берег моря, атмосфера, геологічний розлом), всюди з великою ймовірністю можна виявити фрактали (в контурі берегової лінії, у формі хмар, в конфігурації скельних утворень). І все ж таки спочатку математика фракталів розвивалася незалежно від нелінійної динаміки, і навіть зараз зв'язку між цими двома дисциплінами ще не повністю встановлені. Фрактал, згідно з Б. Мандельброта з Науково-дослідного центру Т. Уотсона фірми IВМ, складається з геометричних фрагментів різного розміру і орієнтації, але аналогічних за формою. Деякі нейрони (нервові клітини), наприклад, мають фракталоподобной структурою. Якщо розглядати ці нейрони через мікроскоп з невеликим збільшенням, то можна чітко побачити відходять від тіла клітини асиметричні розгалужені відростки, звані дендрита. При кілька більшому збільшенні можна спостерігати ще менші відгалуження, що відходять від великих гілок. При ще більш сильному збільшенні виявляється новий рівень структури: відгалуження від відгалужень і т. д. На певному рівні розгалуження відростків нейрона закінчується, але ідеальні фрактали мають нескінченно зменшується структурою (див. статтю: Л. Сандер. Фрактальний зростання, "Світ науки" , 1987, № 3).
Можливо, ще більш примітно те, що на кожному рівні масштабу структура фрактала подібна (хоча і не обов'язково ідентична) структурам, які спостерігаються як у більших, так і в менших масштабах. Якщо поглянути на дві фотографії дендритів з різним збільшенням, то, мабуть, важко вирішити, яка малюнок відповідає більшому, а яка меншому збільшення. Всі фрактали мають цим внутрішнім властивістю подібності на різних рівнях, яке можна назвати властивістю "самоподібності". Оскільки фрактал складається з аналогічних один одному структур з все більш дрібних деталей, його довжина не піддається чіткому визначенню. Якщо спробувати виміряти довжину фрактала за допомогою лінійки, то якісь деталі завжди виявляться менше самого дрібного поділу лінійки. Тому зі зростанням роздільної здатності вимірювального інструмента довжина фрактала збільшується. Так як довжина фрактала не є показною величиною, математики обчислюють "розмірність" фрактала, щоб кількісно оцінити, як він заповнює простір. Знайоме усім поняття розмірності відноситься до класичної, або евклідової геометрії. Лінія має розмірність одиниця, коло має розмірність два, сфера - три. Однак фрактали мають не цілу, а дробову розмірність. У той час як гладка евклідового лінія заповнює в точності одномірне простір,
Самоподоба системи означає, що структура або процес виглядають однаково в різних масштабах або на різних за тривалістю інтервалах часу. Якщо розглядати структуру тонкого кишечника при різному збільшенні (угорі), то можна виявити схожість між великими і маленькими деталями, яке говорить про самоподобу. Коли серцевий ритм здорової людини реєструється для інтервалів 3, 30 і 300 хвилин (внизу), швидкі флуктуації виглядають майже так само, як повільні.
Фрактальна лінія виходить за межі одновимірного простору, вдаючися до двовимірне. Фрактальна лінія, наприклад контур морського берега, має розмірність між одиницею та двійкою. Аналогічним чином фрактальна поверхню, гірський рельєф, наприклад, має розмірність в межах від двох до трьох. Чим більше розмірність фракталу, тим більша ймовірність, що задана область простору містить фрагмент цього фрактала.
У ЛЮДСЬКОМУ організмі безліч фракталоподобних утворень - у структурі кровоносних судин і різних проток, а також в нервовій системі. Найбільш ретельно вивчена фрактальна структура дихальних шляхів, за якими повітря надходить в легені. У 1962 р. Е. Уейбел, Д. Гомес, а пізніше Про Раабе і його колеги зміряли довжину і діаметр трубок в цій нерегулярної системі. Нещодавно автори цієї статті (Уест і Голдбергер) у співпраці з В. Бхаргава і Т. Нельсоном з Каліфорнійського університету в Сан-Дієго повторно проаналізували такі виміри по зліпках легенів людини і деяких інших видів ссавців. Ми прийшли до висновку, що, незважаючи на деякі невеликі міжвидові відмінності, структура дихальних шляхів завжди відповідає тій, яка справедлива для розмірностей фракталів.
Багато інші системи органів також представляються фрактальними, хоча їх розмірності ще не були кількісно оцінені. Фракталопо-добние структури відіграють важливу роль у нормальній механічного та електричного динаміці серця. По-перше, фракталополобная структура серцевих артерій і вен здійснює кровопостачання серцевого м'язу. Дж. Бассінгтуейт і X. фон Беек з Вашингтонського університету не так давно скористалися фрактальної геометрією для пояснення аномалій у кровотоці до здорового серця. Припинення цього артеріального потоку може викликати інфаркт міокарда (розрив серцевого м'яза). По-друге, фракталопо-добная структура сполучно-тканинних утворень (сухожиль) в самому серці прикріплює мітрального-ний і тристулковий клапани до м'язів. При розриві цих тканин може відбутися різкий відтік крові від шлуночків до передсердя, за яким послідує застійна серцева недостатність. І нарешті, фрактальна організація простежується також у картині розгалуження деяких серцевих м'язових волокон і в системі Гіса, що проводить електричні сигнали від передсердь до шлуночків.
Хоча ці фрактальні анатомічні структури виконують неоднакові функції в різних органах, у них все ж помітні деякі загальні анатомічні та фізіологічні властивості. Фрактальні відгалуження або складки значно збільшують площу поверхні, необхідної для всмоктування (у тонкому кишечнику), розподілу або збору різних речовин (в кровоносних судинах, жовчних протоках і бронхіолах) і обробки інформації (в нервовій системі). Фрактальні структури, почасти завдяки своїй надмірності та нерегулярності, є робастних системами і добре протистоять пошкоджень. Наприклад, серце здатне продовжувати роботу при відносно невеликій механічної дисфункції, незважаючи на значні пошкодження системи Гіса, яка проводить необхідні для його функціональної діяльності електричні імпульси.
Фрактальні структури в людському організмі є результатом повільної динаміки ембріонального розвитку та еволюції. Ми висловили припущення, що ці процеси, подібно до інших процесів, що породжує фрактальні структури, демонструють детерміністський хаос. Нещодавно в ході фізіологічних досліджень були виявлені інші явні приклади хаотичної динаміки в більш коротких, доступних для експерименту масштабах часу. На початку 80-х років, коли дослідники почали застосовувати теорію хаосу до фізіологічних систем, вони припускали, що хаос найбільш очевидно буде проявлятися в хворих або старіючих системах. Дійсно, інтуїція і усталені прийоми медичної практики давали для цього досить вагомі підстави. Коли перевіряєш серці за допомогою стетоскопа або щупа пульс на руці, ритм серцевих скорочень здається стійким і незмінним. У людини в стані спокою сила пульсації та інтервали між ударами серця здаються приблизно постійними. Тому кардіологи традиційно описують нормальну роботу серця у вигляді синусоїдальної кривої.
Більш ретельний аналіз показує, що у здорових людей серцевий ритм схильний до значних коливань, навіть у стані спокою. У здорових молодих людей частота пульсу складає в середньому близько 60 ударів в хвилину і може коливатися в межах 20 ударів в хвилину протягом кожних кількох ударів. Протягом дня частота серцевих скорочень може мінятися від 40 до 180 ударів на хвилину.
Протягом принаймні п'ятдесяти років лікарі інтерпретували флуктуації серцевого ритму в концепції гомеостазу, що означає, що фізіологічні системи, як правило, ведуть себе таким чином, щоб зменшувати зміни і підтримувати сталість внутрішніх функцій. Відповідно до цієї концепції, розробленої У. Кенноном з Гарвардського університету, будь-яка фізіологічна мінлива, включаючи частоту серцевих скорочень, повинна після обурення повертатися до величини, що відповідає станом стійкої рівноваги. Відповідно до концепції гомеостазу, варіації серцевого ритму - це просто тимчасові відповідні реакції на флуктуації в навколишньому середовищі. У рамках цієї концепції розумно вважати, що під час хвороби або старіння організму стає важче підтримувати постійний серцевий ритм і амплітуда його варіацій зростає.
Зовсім інша картина виявляється при ретельної реєстрації нормального серцевого ритму удар за ударом протягом доби. Цей графік виглядає "рваним", нерегулярним і на перший погляд абсолютно випадковим. Однак якщо відкласти дані про частоту серцевих скорочень в декількох часових масштабах, то виявляється якась закономірність. Якщо проаналізувати поведінку кривої на ділянці в кілька годин, то на графіку можна знайти більш швидкі флуктуації, діапазон і послідовність яких схожі на відповідні характеристики початкового графіка, що охоплює більше тривалий інтервал часу. 8 ще більш дрібному тимчасовому масштабі (хвилини) можна виявити ще більш швидкі флуктуації, які знов-таки нагадують флуктуації на вихідному графіку. Флуктуації ритму в різних масштабах часу виглядають подібними самим собі точно так само, як гілки геометричного фрактала. Це спостереження свідчить про те, що механізм, керуючий серцевим ритмом, по суті своїй може бути хаотичним. Іншими словами, частота серцевих скорочень, замість того щоб прагнути до гомеостатической стабільною величиною, може зазнавати значні флуктуації навіть у відсутність флуктуації в зовнішніх стимулах.
ЩОБ з'ясувати, чи є варіації частоти серцевих скорочень хаотичними або періодичними, потрібно обчислити спектр Фур'є за часовим графіком показань датчика. Спектр Фур'є будь хвильової функції (зокрема, графіка серцевих скорочень) дозволяє виявити присутність періодичних компонент. Якщо, наприклад, графік показує ритм, у точності рівний одному удару в секунду, то у спектру буде різкий пік на частоті, рівній одному Герцу. У той же час, графік, який відображає хаотичний характер серцевого ритму, породжує спектр, який або покаже широкі піки, або взагалі відсутність яскраво виражених піків. Спектральний аналіз нормальних варіацій частоти серцевих скорочень насправді виявляє широкий спектр, який свідчить про хаос.
СЕРДЕЧНИЙ РИТМ показаний у вигляді тимчасової розгорнення (ліворуч), спектрів Фур'є (у центрі) та у фазово-просторовому поданні (праворуч). За 13 годин до зупинки серця (угорі) серцевий ритм майже стабільний, що відбивається плоским спектром і аттракторів у вигляді точки. За 8 днів до раптової серцевої смерті (у середині) серцевий ритм характеризується вираженою періодичністю: в нейтральній частини спектру є різкий пік, а у фазовому просторі виходить граничний нікл. У здорової людини (внизу) серцевий ритм характеризується "хаосом": спектр широкий, а фазова діаграма нагадує дивний атрактор.
Іншим інструментом динамічного аналізу складних нелінійних систем є представлення їх веління в "фазовому просторі". При цьому простежуються зміни в часі значень, прийнятих незалежними змінними. Кількість та тип незалежних змінних залежать від властивостей системи (див. статтю: Дж. Кратчфілд, Дж. Фармер, Н. Паккард, Р. Шоу. Хаос, "Світ науки", 1987, № 2). Для багатьох складних систем ідентифікувати і виміряти всі незалежні змінні просто неможливо. У таких випадках подання до фазовому просторі можна отримати, скориставшись методом карт затримки. У простій такій карті кожна точка відповідає значенню деякої змінної в заданий момент часу, взятому щодо значення тієї ж змінної після фіксованого часу затримки. Послідовність цих точок для послідовних моментів часу утворює криву, або траєкторію, яка описує еволюцію системи.
Щоб встановити тип динаміки системи (хаотичний або періодичний), потрібно визначити траєкторію для багатьох різних вихідних умов. Потім відшукується аттрактор: область фазового простору, яка притягує до себе траєкторії. Найпростішим аттракторів є фіксована крапка. Вона описує систему, таку, наприклад, як маятник, яка еволюціонує до одного-єдиного стану. У фазовому просторі поблизу аттрактора у вигляді фіксованої точки всі траєкторії сходяться до однієї точки.
Іншим, найскладнішим аттракторів є граничний цикл. Він відповідає системі (такий, як ідеальний, не має тертя маятник), який прагне до періодичного стану. У фазовому просторі, поблизу граничного циклу, траєкторії слідують за регулярною кривої, кола або еліпсу.
Інші атрактори називаються просто "дивними". Вони описують системи, які не є ні статичними, ні періодичними. У фазовому просторі, поблизу дивного аттрактора, дві траєкторії, що почалися при майже ідентичних початкових умовах, вже через короткий час розходяться, а через значний час будуть зовсім відрізнятися один від одного. Система, описувана дивним аттракторів, хаотична.
НЕЩОДАВНО ми проаналізували подання нормального серцевого ритму у фазовому просторі. Отриманий результат був ближче до дивного аттрактору, ніж до періодичного, характерному для регулярного процесу. Це ще одне свідчення того, що динаміка нормального серцевого ритму може бути хаотичною.
Хаосогенний механізм в спостережуваних варіаціях биття здорового серця, ймовірно, криється в нервовій системі. Синусних вузол, який є водієм ритму серця, отримує сигнали від вегетативної (неконтрольованої свідомістю) нервової системи, яка поділяється на парасимпатичну і симпатичну. Стимуляція парасимпатичних нервових волокон зменшує частоту імпульсації нервових клітин синусового вузла, а стимуляція симпатичних нервів має протилежний ефект. У результаті цих взаємно протилежних впливів на водія ритму серця і виникають флуктуації частоти серцевих скорочень, що спостерігаються у здорової людини. Нещодавно ряд дослідників, зокрема Р. Коен і його колеги з Массачусетського технологічного інституту, експериментально встановили що варіації серцевого ритму зменшуються після трансплантації серця, при якій нервові волокна вегетативної системи виявляються відрізаними.
Результати інших досліджень, проведених останнім часом в кількох лабораторіях, свідчать, що хаос є нормальним властивістю багатьох компонентів нервової системи. Г. Майер-Кресс з Лос-Аламоської національної лабораторії, П. Репп з Пенсільванського медичного коледжу, а також А. Баблояні І А, Детекс з Брюссельського вільного університету проаналізували електроенцефалограми здорових людей і виявили ознаки хаосу в нервовій системі. О. Ресслер і його колеги з Тюбін-генского університету у ФРН також виявили ознаки хаосу в компонентах нервової системи, керуючих секрецією гормонів. Вони проаналізували тимчасові зміни у змісті гормонів в крові у здорових людей і встановили наявність явних хаотичних флуктуації.
Нещодавно проведені дослідження, в яких імітувалися взаємодії між нервовими клітинами з метою з'ясувати, яким чином може виникати хаос. У. Фрімен з Каліфорнійського університету в Берклі продемонстрував, що хаос може породжуватися в моделі системи нюху. У моделі враховуються зворотні зв'язки між "нейронами" і затримка в часі реакції. Єше раніше Л. Глас і М. Маккей з Університету Макгілла встановили важливу роль тимчасових затримок у породженні хаосу.
Чому ж серцевого ритму та іншим процесам в організмі, керованим нервовою системою, властива хаотична динаміка? Така динаміка дає багато функціональних переваг. Хаотичні системи здатні працювати в широкому діапазоні умов і тому легко адаптуються до змін. Ця пластичною-ність дозволяє системам задовольняти вимогам непередбачуваною і мінливого зовнішнього середовища.
При багатьох патологічних станах проявляється чітко виражена періодичність, супроводжується втратою мінливості. Одні з перших свідчень того, що навіть вмираюче серце може демонструвати періодичність, були отримані за допомогою аналізу Фур'є електрокардіографічних хвильових форм під час шлуночкової параксізмаль-ної тахікардії - фібриляції шлуночків, що обумовлює надзвичайно прискорений ритм і приводить до зупинки серця. У середині 80-х років Р. Айдекер і його колеги з медичного факультету Університету Дьюка зареєстрували хвильові функції, пов'язані з фібриляцією внутрішньої частини шлуночків серця у собаки. Вони прийшли до висновку, що фібрілляціонние явища всередині серця виявилися набагато більш періодичними, ніж уявлялося до цього.
У 1988 р. автори цієї статті (Голд-Бергер і Рігні) провели ретроспективне вивчення амбулаторних електрокардіограм пацієнтів, що страждали важкими захворюваннями серця. Ми встановили, що характеристики серцевого ритму у цих людей часто ставали менш схильними до варіацій у порівнянні з нормою іноді за кілька хвилин, іноді за кілька місяців перед раптовою зупинкою серця. У деяких випадках зменшувалися варіації, що спостерігалися в короткі проміжки часу, від удару до удару; в інших - з'являлися, а потім різко пропадали яскраво виражені періодичні коливання серцевого ритму.
У нервовій системі теж можуть спостерігатися втрата мінливості і поява патологічних періодично-стей при таких захворюваннях, як епілепсія, паркінсонізм і маніакально-депресивний психоз. У той час як при нормальних умовах кількість лейкоцитів у крові у здорової людини змінюється хаотично день від дня, в деяких випадках при лейкозах воно коливається періодично.
Періодичні закономірності при захворюваннях і явно хаотичне "поведінка" здорового організму не означають, що всі патологічні стани пов'язані з підвищеною регулярністю. У деяких випадках при серцевій аритмії пульс змінюється настільки хаотично, що пацієнти скаржаться на "серцебиття". Іноді за цими симптомами криються коливання, які хоч і здаються нерегулярними, насправді при ретельному вивченні виявляються періодичними. При інших аритміях пульс насправді поводиться непередбачувано хаотично. Однак ні при одному з цих порушень не було виявлено ознак нелінійного хаосу, хоча в рамках словесного опису пульс можна охарактеризувати як "хаотичний".
ФІЗІОЛОГІЯ може виявитися однією з найбагатших лабораторій для вивчення фракталів та хаосу, так само як і інших типів нелінійної динаміки. Фізіологам ще належить краще зрозуміти те, яким чином процеси розвитку призводять до виникнення фрактальних структур і як динамічні процеси в організмі породжують спостерігаються ознаки хаосу. У недалекому майбутньому завдяки вивченню фракталів та хаосу ми, можливо, отримаємо більш тонкі методи аналізу різних порушень функцій організму при старінні, захворюваннях і вживанні токсичних лікарських препаратів.